心流087：一道经典的“脑筋急转弯”

选择字号：超大标准 dzgoadmin 发布于2022-12-20 属于冷笑话栏目 0个评论 22人浏览

　　今天跟大家分享一个既有意思又伤脑的话题，实际上是一道和概率有关的数学题，也可以理解为一个脑筋急转弯。

　　先跟大家做个铺垫，假设有一对夫妻，他们生了5个孩子，而这5个孩子都是男孩，那么请问生第六个孩子是女孩的概率是多少？

　　一个前提假设就是他们每生一个孩子，这个孩子是男是女的概率都是1/2，而且每次生育都是相互独立的事件。那么学过统计学的同学们都知道答案是1/2。即使前五个生的都是男孩，但是第六个孩子和前五个孩子没有什么关系，所以第六个孩子生男生女都是50%的概率。

　　可是这个答案会不会很奇怪、很反直觉呢？因为在我们平常生活中，如果一对夫妻生了5个都是男孩，那么凭感觉，第6个孩子是女孩的可能性更大一点吧？

　　如果这对夫妻生了6个孩子，这6个孩子全都是男孩，那么这件事发生的概率，就是2的六次方分之一，也就是1/64，是一个非常小概率的事件，那么我们反过来想，那么在这六个孩子当中至少有一个孩子是女孩的概率是多少呢？很简单，是63/64，所以前五个孩子是男孩的话，那第六个孩子是女孩的概率是63/64。这也就是为什么我们的直觉会认为第六个孩子总该是女孩了。

　　其实前一种算法就是标准答案的算法，真的是把每一种情况都相互独立开了，这涉及到统计学的一个概念，叫做条件概率（Conditional probabltiy）。顾名思义，就是当一件事情已经发生了，比如5个男孩这件事已经发生的情况下第六个孩子到底是男孩还是女孩？确实就是1/2。

　　第二种可能不是标准正确答案，但是更符合我们的直觉，它没有用到条件概率的概念，而是把生六个孩子当作是一个整体，没有拆开。当你这么考虑问题的时候就会发现，6个孩子全是男孩肯定是非常非常小概率的事件，而至少有一个女孩是大概率事件。但是这种方式其实是错误的。

　　为什么说第二种方式是错误的呢？因为它把这6个事件当作一件事情来看待，而我刚才强调了，一个前提就是每生一个孩子事件，彼此之间是相互独立的。

　　而这件事给我的思考就是你看待问题的视角不同，可能会带来完全不同的结论。而真正的标准答案却只有一个。

　　在美国的一档综艺节目上，主持人在舞台上摆放了三扇小门，门后面随机放着两头羊和一辆豪华轿车。谁也不知道哪扇门背后是羊，哪扇门背后是车。这时候主持人就把嘉宾叫上来抽奖，这个抽奖的形式非常有意思，大概步骤是这样的：

　　嘉宾先去选择一扇门，然后主持人会把另外两扇门当中的一扇打开，这扇门后面一定是羊。（主持人事先知道哪扇门背后是豪华轿车，哪扇门背后是羊的，然后特意打开未被选择的两扇门中背后是羊的那扇，把这部分的真相公之于众。）

　　这时候剩下两扇门是关着的了，一扇是嘉宾所选中的，另外一扇背后谁也不知道是羊还是轿车。大家都想要去选择豪华轿车，可是到底如何才能抽中这个豪华轿车呢

　　主持人问嘉宾：你现在知道哪扇门背后有羊了，现在你可以重新再做一次选择。你是想坚持自己之前的选择还是想要选择没被打开的另外那扇门呢？只要你告诉我你的最终选择，我就会把你选择的哪扇门打开，如果是羊，你可以把羊牵走，如果是豪华轿车，你就可以把这辆豪车开走。

　　这是我们金融工程专业非常传统和经典的面试题，其实是美国非常著名的一道选择题，这个综艺节目主持人叫Monty Hall，这个问题以这位主持人的名字命名，叫做Monty Hall问题。它是一道非常经典的统计概率问题，核心精髓就是条件概率。

　　据吴军说，美国有超过50%的PFD（博士生）都回答不上来，或者因为实在太反直觉了，他们都回答错了。那么这个问题的答案到底是什么呢？

　　很简单，就是Always Change，你永远都要转换门，因为只有你转换了那扇门，去选择你刚开始没选的那扇门，你赢得豪车的概率才会更高。

　　假设你选择的是A门，那么主持人把C门打开，告诉你C门背后是羊，这个时候你就知道豪车要么在A门，要么在B门，可是如果你坚持选A，就相当于你没有利用主持人给你的第二次机会，这时候你的中奖概率跟之前一样，都是1/3。如果你转到了B门，这个时候就完全不一样了，相当于你知道了C门背后是羊这个信息后重新在A和B中间选择，那么中将概率就是1/2。也就是说如果你坚持A，那么你中奖的概率是1/3，如果你第二次选择了B，概率就是1/2。

　　所以说从统计学、概率学来说，你永远要去做获奖概率更高的事情，那么你就一直应该转变，这就是标准的正确答案。

　　其实这个问题不仅是在美国，甚至是全世界的数学界、统计学或者概率学界，可能都有长期广泛深入的讨论。如果你把它作为一个简化的版本理解，正确答案就是一个：永远都要换门。

　　但是如果从另外一个角度来思考，当主持人打开了C门，让你在A和B之间重新做选择的时候，A和B门后选中豪车的概率都是1/2，那么你换还是不换到底有什么区别呢？

　　其实这个问题我到现在也没有完全想明白，我是希望有这样的一个机构或组织进行大规模的实验，验证换不换门对最后中奖的概率到底有没有影响。也希望咱们心流造物的小伙伴们，如果有对这件事儿更加了解的同学，可以为我指点迷津。

　　我今天为什么要说这个话题呢？我发现生活当中很多事情真的是非常奇妙，明明很反直觉，但就是正确答案。因为不同的视角看问题，就会得到不同的答案，而真正正确的答案永远只有一个，这就需要你去找到最佳的视角。

　　就像相对论里所说的，不同的坐标系之间，很多事情是没有可比性的，这就是我们这个宇宙，我们这个世界的奇妙之处。

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